Cómo activar el complejo de matemáticas del cálculo vectorial en simples imágenes – MIT Technology Review

en 1948, la revista physical Review publicó un artículo titulado “el Espacio y el Tiempo de Enfoque a la Electrodinámica Cuántica” por un joven físico llamado R. P. Feynman en la Universidad de Cornell. El documento describe una nueva forma de resolver problemas en la electrodinámica el uso de matrices. Sin embargo, es recordado hoy en día por una mucho más poderosa invención—el diagrama de Feynman, que apareció impreso por primera vez.

diagramas de Feynmann han tenido un impacto enorme en la física. Son representaciones pictóricas de las matemáticas que describen la interacción entre las partículas subatómicas. Matemáticamente, cada interacción es una serie infinita, por lo que incluso simples interacciones entre partículas son extremadamente complejo para escribir de esta manera.

Feynman del genio de la era representar estas series de líneas simples en un formato gráfico, permitiendo a los científicos a pensar acerca de la física de partículas en nuevas y emocionantes maneras.

Feynman y otros inmediatamente se comenzó a extender sus ideas mediante esta gráfica de la taquigrafía. De hecho, el físico Estadounidense Frank Wilcjek, que trabajó con Feynman en la década de 1980, una vez escribió: “Los cálculos que finalmente me llevó un Premio Nobel en 2004 habría sido literalmente impensable sin los diagramas de Feynman.”

por supuesto, muchas otras áreas de la física se basan en matemáticas complejas. Y que plantea la interesante cuestión de si los gráficos basados en innovaciones podría simplificar estos cálculos y tal vez dar inicio a una nueva era de la innovación, así como Feynman hizo.

Introduzca Joon-Hwi a Kim en la Universidad Nacional de Seúl en Corea del Sur y un par de colegas que han llegado con una similar a la innovación para el cálculo vectorial—una basada en gráficos de taquigrafía por uno de los más comunes y potentes herramientas matemáticas en la ciencia. “Anticipamos que la gráfica de cálculo vectorial reducirá las barreras en el aprendizaje y la práctica de cálculo vectorial, como los diagramas de Feynman hizo en la teoría cuántica de campos,” dicen ellos.

en Primer lugar, algunos antecedentes. Cálculo vectorial es la rama de las matemáticas que se ocupa de la diferenciación y la integración de campos vectoriales. La razón por la que es tan importante en la física es que más o menos todo en el universo puede ser descrito en términos de campos vectoriales—campos electromagnéticos, campos gravitacionales, flujo de fluidos, y así sucesivamente.

es por eso Que toda la física y la ingeniería de pregrado pasa muchas horas felices luchando con las matemáticas y el arcano de la notación que se requiere. El problema es que los campos vectoriales son intrincadas, las entidades que asignar un único vector a cada punto en el espacio tridimensional y pueden ser representaciones del más complejo de los objetos matemáticos llamados diferenciable colectores. Así que en su forma más simple, un campo de vectores puede ser una lista infinita de vectores.

Matemáticos representan estos campos utilizando un enfoque llamado índice de notación. Un vector se puede escribir como a_yo donde yo = 1, 2, o 3 en el espacio tridimensional. Otra forma de escribir esto es: = [a₁, a₂, a₃].

Los problemas surgen cuando estas cantidades interactuar matemáticamente. Campos vectoriales se puede multiplicar por escalares o por cada uno de ellos de dos maneras diferentes, conocido como un producto escalar y producto vectorial. Y los resultados pueden ser increíblemente complejo enorme, matrices multidimensionales.

En todos estos casos, los índices de los campos vectoriales involucrados deben ser seguidas cuidadosamente. Ningún físico se sabe cuán fácil es perder a un índice, y el dolor que participan en la búsqueda de nuevo

Luego está el reto de trabajar en cómo estos campos cambian a lo largo del tiempo, o en relación con alguna otra variable. Este es el problema de la diferenciación, para que los físicos han desarrollado una serie de instrumentos conocidos como operadores—tal vez el más famoso es el del operador.

El avance que Kim y sus colegas han hecho es desarrollar una gráfica basada en la notación que reemplaza el índice de notación. Ellos representan un vector como un cuadro con una línea adjunta. Por el contrario, un escalar no tiene líneas que salen de él.

Cuando dos vectores se multiplican entre sí a través de un punto del producto, el resultado es una cantidad escalar. Kim y compañeros de la notación se encarga de ello automáticamente. En un punto del producto, las líneas asociadas con los dos vectores de conectar el uno al otro, la creación de un objeto sin líneas externas—en otras palabras, un escalar.

Pero un producto cruz entre dos vectores produce otro vector, y de nuevo Kim y compañeros de la notación se encarga de esto automáticamente. El gráfico para un producto cruzado es con forma de y, con las líneas de los dos vectores de la conexión a un tercero que se extiende. En otras palabras, esta forma un vector.

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Esto es sólo el comienzo. Los investigadores van a describir una amplia gama de otras herramientas matemáticas, tales como la del operador, junto con varios importantes identidades utilizadas en el cálculo vectorial. Y que se extienden sus ideas a los tensores, que son más complejas de los objetos matemáticos, cada uno con dos o más índices.

Los resultados muestran una notable economía. Kim y compañeros de mostrar cómo su notación se convierte expresiones matemáticas complejas en relativamente simple de gráficos, como los diagramas de Feynman. “El lenguaje es muy intuitiva y automática simplifica tensorial expresiones,” dicen ellos.

Hay una utilidad importante aquí. Kim y compañeros dicen que su enfoque cambios campo vectorial cálculo en una tarea visual, en lugar de como construir con los ladrillos de Lego. “Como un niño jugando con juguetes educativos, tales como bloques de Lego o magnético, la construcción de palos, va a ser una experiencia entretenida para ‘doodle con el baile, diagramas,’ dicen. “Como los diagramas de Feynman son la mayoría de lenguaje natural para describir la microscópico proceso de las partículas elementales, la notación gráfica es el lenguaje canónico del cálculo vectorial del sistema.”

Que es un gran reclamo con un enorme potencial. No hay duda de que los diagramas de Feynman han cambiado la forma en que los físicos piensan acerca de la física de partículas. Pero, cálculo vectorial tiene un mayor alcance ya que el fundamento matemático de gran parte de la física moderna y la ingeniería.

La gran pregunta es cómo ampliamente las ideas se propagan. Que va a determinar si esta notación gráfica desencadena un cambio transformador en la manera en que pensamos acerca de la física o la forma una curiosa nota de pie de página en la historia de la matemática de la invención. De cualquier manera, Feynman habría sido divertido.

Ref: arxiv.org/abs/1911.00892 : Impulsar el Cálculo Vectorial, con la Notación Gráfica